Ficha Técnica y Artística
Título Original: Cube. Nacionalidad: Canadá, 1997. Director: Vincenzo Natali. Guión (según el orden de los créditos): Andre Bijelic, Graeme Manson y Vincenzo Natali. Equipo de producción: Mehra Meh, Betty Orr para The Feature Film Project, Cube Libre, Ontario Film Development Corporation, Viacom Canada y Téléfilm Canada. Productores Ejecutivos: Colin Brunton, Justine Whyte. Música: Mark Korven. Fotografía: Derek Rogers. Montaje: John Sanders. Efectos Especiales: C.O.R.E. Digital Pictures, Cine-Byte Imaging, Inc.
Intérpretes: Nicole de Boer (Leaven), Maurice Dean Wint (Quentin), Nicky Guadagni (Holloway), David Hewlett (Worth), Andrew Miller (Kazan), Wayne Robson (Rennes), Julian Richings (Alderson).
Premios: Mejor dirección novel en el Festival Internacional de Toronto de 1997, Premio a la mejor película y al mejor guión en el festival de cine fantástico de Sitges de ese mismo año, premio del jurado al mejor film en el Festival de Ciencia Ficción y Fantasía de Méjico en agosto de 1998, premio del público a la mejor dirección en el Fantasporto de 1999, premio del público y de la crítica en febrero de 1999 en el Festival de cine fantástico Gerardmer, el Silver Raven al mejor director en el Festival de cine fantástico de Bruselas del mismo año, así como el premio a la mejor fotografía en los premios de la Sociedad Canadiense de Fotografía de 1999. Duración: 90 minutos.
Argumento: Seis personas, desconocidas entre sí, se despiertan encerradas en una serie de habitaciones de forma cúbica y vestidas de modo idéntico. Superado el asombro inicial, van tomando conciencia de su situación. Tratarán de encontrar una salida de ese lugar, descubriendo que algunas habitaciones tienen trampas mortales. Aunque la tensión va aumentando a medida que pasa el tiempo, descubren que no han sido elegidos al azar, sino que cada uno de ellos es necesario para la supervivencia del grupo. La lógica impone por tanto la colaboración entre todos aunque los conflictos personales van dificultando cada vez más su situación.
Uno de los atractivos que Cube puede tener para los matemáticos y los aficionados a los problemas en general es desentrañar la codificación numérica que tienen las diferentes salas cuyo análisis permite a los protagonistas hallar la salida del laberinto en el que se encuentran. Cada una de las habitaciones, también de forma cúbica, viene identificada por tres grupos de tres números cada uno (nueve números en total) que indican varios aspectos: si la habitación tiene o no trampas mortales, la posición relativa de la sala respecto al cubo total, y los movimientos que estos cubículos van describiendo, detalle que les permitirá averiguar cuando se encuentran en la posición inicial.
La película plantea además gran cantidad de ideas e interrogantes. En primer lugar, describe la evolución del comportamiento de cada una de las personas atrapadas, arquetipos bastante usuales en nuestra sociedad, con algunos de cuyos aspectos y reacciones podremos seguramente identificarnos. Por otro lado, el propio Cubo parece simbolizar el sistema establecido, con sus trampas, relaciones de poder, etc. Salir de dicha estructura es prácticamente imposible. Al final, no triunfa el más fuerte, ni el más inteligente, sino el afortunado que se encuentra en el momento y lugar adecuados. La visión que se nos plantea del genero humano es muy pesimista.
El rodaje fue realizado en tan sólo 20 días, en un único decorado (un almacén abandonado de los estudios Wallace en Toronto, cercano a una vía de ferrocarril que continuamente sobresaltaba al equipo), con un presupuesto muy bajo para este tipo de producciones (300.000 dólares canadienses). Los cambios de color de las habitaciones (blanco, azul, rojo y verde) no tienen otra finalidad que romper la monotonía del decorado único. La escena más complicada de rodar fue la inicial en la que un hombre es "cubicado" y va desplomándose trozo a trozo. Su realización ocupó 24 horas consecutivas de rodaje. También hubo problemas con el sistema de apertura de las puertas ya que ni el actor que encarna al policía era capaz de hacerlas girar. Al final hubo que improvisar una especie de apertura automática. Otra curiosidad son los nombres de los personajes: corresponden a nombres de diferentes prisiones de los Estados Unidos (LeavenWorth, Holloway, San Quentin, Alderson), Francia (Rennes) y Rusia (Kazan). Cube constituye el debut como director de largometrajes del joven canadiense Vincenzo Natali, cuyo éxito en cuanto a premios y público en Francia, Canadá, Estados Unidos y Japón ha sido espectacular. Gracias al éxito de su cortometraje Elevated en el festival de Sundance de 1996 logró la financiación necesaria para Cube. El éxito de ésta última le ha permitido trabajar en los Estados Unidos donde ha realizado Cypher (2002) y Nothing (2003) (esta última no estrenada en España).
Por otro lado, Cube ha tenido dos secuelas, Cube 2: Hypercube (Canadá, Andrzej Sekula, 2002) y Cube Zero (Canadá, Ernie Barbarash, 2004), de las que es difícil decidir cuál es más horrorosa (son puro gore; pero no son horribles porque sean gore, sino porque son muy malas). Por supuesto, nada que decir en cuanto a matemáticas de ninguna de ellas.
ACTIVIDADES
1.- Sobre la película
1.- ¿Qué te ha parecido la película?
2.- ¿Qué aspectos relacionados con las matemáticas has encontrado?
3.- ¿Qué te ha llamado más la atención?¿Cambiarías algo?¿Por qué?
4.- ¿Con cuál de los personajes más te identificas? Analiza la personalidad y el proceder de cada uno de ellos y trata de determinar si su actitud ante la vida refleja de algún modo nuestra sociedad.
5.- ¿La visión de la película es muy pesimista o crees que es realista?
2.- Referencias presentes en la película
1.- La mayor parte de las críticas de la película la emparentan con la obra de Franz Kafka. Averigua a qué se debe esta similitud recabando información sobre las obras y el pensamiento de este importante escritor. ¿Conoces otras películas, novelas o expresiones artísticas relacionadas con Kafka?¿Crees que su idea de la vida y la sociedad está vigente en la actualidad?
2.- El argumento de Cube es parecido al de la novela El Señor de las moscas, de William Golding. Localiza este libro o la película del mismo título, y comparala con Cube.
3.- Otras referencias que aparecen en el film son:
· la teoría de la conspiración (seguro que te recuerda a una película de Mel Gibson y Julia Roberts recientemente pasada por la televisión). ¿Crees que esta teoría es posible?
· los números primos. ¿Por qué son tan importantes? Trata de averiguar algo de su historia y de sus aplicaciones prácticas.
· el autismo. ¿En que consiste?¿Son ciertas las facultades que se les suponen a los autistas?
· el cubo de Rubik. Los movimientos de las salas y la idea del cubo recuerdan a este conocido pasatiempo. ¿Qué matemáticas subyacen en él?
3.- Actividad matemática.-Códigos y criptografía
En la película cada estancia del enorme cubo está etiquetada con un número de nueve dígitos separados en grupos de tres. Leaven, la joven estudiante de matemáticas, deduce que en estos números están incluidas algunas características de las salas:
1.- si tienen o no trampas mortales
2.- la posición relativa de cada una respecto al Cubo.
3.- los movimientos que van describiendo
Las diferentes placas que nos muestran la película tienen los siguientes números:
566 472 737 476 804 939 582 434 865 149 419 568
645 372 649 656 778 462 517 478 565 666 897 466 567 898 545
Cuestiones
1.- En un principio Leaven supone que una habitación tiene trampa si alguno de los tres números que la identifica es un número primo. ¿Cuáles de los números anteriores cumplen esta condición?
2.- Sin embargo, esa suposición se comprobó que era errónea, y que la trampa existía si alguno de los números era potencia de un primo. ¿Qué salas de las descritas lo cumplen? ¿Es ésta segunda hipótesis más general o más restrictiva que la anterior?¿Por qué?
3.- Para determinar la posición relativa de las habitaciones en el conjunto total, deben sumarse los dígitos de cada grupo entre sí. Por ejemplo, la sala 582 434 865 daría las coordenadas (15, 11, 19). Obtén las coordenadas de cada sala y comprueba si en algún caso responden a estancias adyacentes. ¿Contradicen los resultados el argumento de la película?
4.- Suponiendo que los movimientos de los cubos obedecieran a una ley fija, programada, los protagonistas necesitarán conocer en qué momento vuelven a la posición original con la esperanza de hallar la salida. En la película la pauta que siguen es la siguiente: tomemos como ejemplo la sala 567 898 545 (es decir, la correspondiente a las coordenadas (18, 25, 14)). Se restan los dígitos del siguiente modo
567 ® 5 - 6 = -1 ; 6 - 7 = -1 ; 7 - 5 = 2
898 ® 8 - 9 = -1 ; 9 - 8 = 1 ; 8 - 8 = 0
545 ® 5 - 4 = 1 ; 4 - 5 = -1 ; 5 - 5 = 0
De aquí resultan, tomándoles por columnas, los vectores de permutación (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (2, 0, 0). Estos vectores nos indican las tres posibles posiciones para la habitación 567 898 545, que son
(18, 25, 14) + (-1, -1, 1) = (17, 24, 15)
(17, 24, 15) + (-1, 1, -1) = (16, 25, 14)
(16, 25, 14) + (2, 0, 0) = (18, 25, 14)
Observese que con este procedimiento, cada tres movimientos, siempre se vuelve a la posición de partida. ¿Puedes explicar por qué?
5.- Según esto, conociendo la posición de la habitación actual y las de las adyacentes, se puede saber si estamos en posiciones consecutivas y en qué movimiento volvemos a la situación de partida. En la película, estando en el cubito de coordenadas (17, 25, 14), Leaven pide a sus compañeros que le indiquen los números de las salas contiguas, que son 666 897 466, 567 898 545 y 656 778 462. ¿Corresponden estas codificaciones a posiciones consecutivas para algúna de sus permutaciones? (NOTA: en el montaje final de la película se descartaron algunas escenas).
En nuestra vida cotidiana utilizamos con mucha frecuencia códigos numéricos o de letras que guardan algún tipo de información como sucede con los números de las habitaciones de la película. Gran parte de la información sobre personas que se guerdan en las bases de datos de los ordenadores están codificadas. Analicemos dos ejemplos, el I.S.B.N. de los libros y el N.I.F.
En primer lugar debemos familiarizarnos con el concepto matemático en que se basan algunas codificaciones: las congruencias. Dos números, a y b, se dice que son congruentes módulo n, y se denota mediante a º b (mod n), si a - b es un múltiplo de n. Por ejemplo 27 º 17 (mod 5) porque 27 - 17 = 2 × 5. Observa que el resto de dividir 27 y 17 entre 5 es precisamente 2. Las congruencias son muy utilizadas en teoría de números porque los números congruentes suelen tener propiedades comunes. De este modo, para trabajar con números grandes como 1234567890 o 257159, es habitual utilizar otros números congruentes con ellos más pequeños.
6.- Resuelve las siguientes cuestiones:
i.- encontrar tres números a tales que a º 23 (mod 7).
ii.- ¿Existe algún n para el que 3137 º 123 (mod n)?
iii.- Trata de probar que si a º b (mod n) y c º d (mod n), entonces a+c º b+d (mod n) y que ac º bd (mod n).
7.- Los libros se codifican mediante los números del I.S.B.N. (International Standard Book Number). Observa el ISBN de la figura:
7.- Los libros se codifican mediante los números del I.S.B.N. (International Standard Book Number). Observa el ISBN de la figura:
* el primer grupo de dígitos indica el país (o el idioma). En España es el 84.
* el segundo grupo de dígitos designa la editorial.
* el tercer grupo es un número asignado al libro por la editorial.
* el último carácter, el décimo, es un factor de comprobación. Si designamos el número completo por x1 x2 x3 x4 x5x6x7 x8x9 el décimo dígito verifica la relación
x10 =
Comprueba si el ejemplo anterior corresponde de verdad a un ISBN e indica cuál de los siguientes es falso
a) 0 - 13165332 - 6 b) 0- 1392 - 4101 - 4 c) 07 - 028761 - 4
¿Podrías calcular el número X que falta en el ISBN siguiente 0 - 201 - 1X - 502 - 7 ?
Las librerías utilizan el ISBN para encargar los libros. Es más rápido y sencillo, con la ayuda del ordenador y el correo electrónico, transmitir un número que el título del libro, su autor, la editorial, el año de edición, etc.
8.- Prácticamente todos los productos que compramos hoy en día llevan un código de barras y un número. En la caja registradora, el código de barras se examina mediante un lector láser que envía un mensaje a un ordenador, donde se encuentran los precios de todos los productos, cuántos artículos como ese quedan, etc. El ordenador envía la información oportuna a la pantalla de la caja registradora y hace imprimir el recibo correspondiente. Los números del código de barras del artículo suelen seguir la siguiente estructura:
* el código del país, 97, en el ejemplo anterior. (Cada producto suele tener códigos diferentes).
* Referencia del fabricante: 88460
* Número del producto: 48958
* Dígito de control: 0
Como puedes comprobar, parte del código de ISBN del libro del ejemplo está contenido en el código de barras. Para los códigos de barras, el dígito de control se calcula del siguiente modo: se suman las seis cifras que ocupan los lugares impares empezando por la izquierda; llamemos a este valor X. A continuación se suman las seis cifras de los puestos pares, Y. Se tiene que cumplir que
X - Y + dígito de control º 0 (modulo n),
donde el valor de n suele ser 8 o 6, aunque para cada tipo de producto puede haber un n diferente. Comprueba que en el ejemplo anterior n es 8, y realiza el cálculo para otros productos de diferente clase.
9.- También el cálculo de la letra del N.I.F. (Número de Identificación Fiscal) de cada D.N.I: obedece a un algoritmo y a una codificación. En este caso, se calcula el número del D.N.I. módulo 23 y al valor obtenido se le asigna una letra según la siguiente clave:
0 ® T; 1® R; 2® W; 3® A; 4 ® G; 5® M; 6® Y; 7® F; 8® P; 9® D; 10® X; 11® B; 12® N; 13® J; 14 ® Z; 15® S; 16® Q; 17® V; 18® H; 19® L; 20® C; 21® K; 22® E.
Obtén la letra de tu D.N.I., y calcula tres N.I.F. distintos que tengan la C como letra del N.I.F.
10.- a) Se han recibido los siguientes N.I.F. por correo electrónico. ¿Son correctos o ha habido algún error en la transcripción 42. 094. 683 - Z y 5. 080. 569 - D ?
b) El N.I.F. no puede corregir un error a menos que se sepa en qué posición está el dígito equivocado. Prueba de ello es la siguiente cuestión: De un N.I.F. se deconoce el número de las decenas, 312. 0X8. Se sabe que la letra es la T. ¿Cuál es el dígito que falta?¿Puede haber algún otro error?
Los códigos también se han empleado y se emplean en la transmisión de mensajes secretos. El cifrado de mensajes data de los tiempos más remotos, aunque es sobre todo a partir de la II Guerra Mundial cuando más se ha desarrollado. La ciencia que estudia la seguridad en las transmisiones para que determinadas informaciones no sean descubiertas ni descifradas por personas, empresas o instituciones que no se desea se llama criptografía. Algunos de los sistemas más complejos de codificación se basan en resultados matemáticos. Trata de averiguar algo más sobre la criptografía, su historia, los métodos tradicionales de codificación de mensajes, etc. En particular recaba información sobre el sistema RSA de clave pública, uno de los más utilizados en la actualidad, basado en la dificultad de factorizar números primos de gran tamaño. Aunque todo el mundo sabe cómo descifrarlo (clave pública), sólo los que conocen la factorización en producto de dos números primos gigantescos de otro número mucho mayor pueden descifrar los mensajes encriptados con este procedimiento.
Ficha Técnica y Artística:
Título Original: Moebius. Nacionalidad: Argentina, 1996. Director: Gustavo Mosquera R. Guión (según el orden de los créditos): Natalia Urruty, Arturo Oñativia, Gabriel Lifschitz, Pedro Cristiani, María Ángeles Mira, Gustavo Mosquera R., basado en el cuento "Un túnel llamado Moebius", de A.J. Deutsch. Producción: María Angeles Mira y Verónica Cura para Universidad del Cine de Buenos Aires. Música Original: Mariano Nuñez West. Fotografía: Abel Peñalba. Montaje: Alejandro Brodersohn, Pablo Georgelli. Casting: Karina Necol. Dirección Artística: María Ángeles Mira, Frederico Ostrovsky. Maquillaje: Mariela Chimales. Departamento de Sonido: Magdalena Ripa Alsina, Federico Billordo, Mario Calabrese, Marcos De Aguirre, Roberto Espinoza, Pablo Farina, Javier Flichman, Martín Grignaschi, Lucio Iturbe, David Miranda, Mariano Rodríguez, Óscar Velzi. Efectos Especiales: Rubén Buelta, Gustavo Mosquera R, Marta Selvi, Adrian Sinclair, Oscar Trench.
Intérpretes: Guillermo Angelelli (Daniel Pratt), Roberto Carnaghi (Marcos Blasi), Annabella Levy (Abril), Jorge Petraglia (Hugo Mistein), Miguel Ángel Paludi (Aguirre), Fernando Llosa (Dr. Nazar), Martín Adjemian (Canotti), Daniel Dibiase (Kenn), Jean Pierre Reguerraz (Decker), Martín Pavlovsky (Conductor 101), Felipe Mendez (Jefe de Transbordos), Fernando Cia (Figas), Osvaldo Santoro (Vega), Horacio Roca (Edmundo), Nora Zinsky (Profesora), Sammy Lerner (viejito del Archivo), Rodolfo Franghi (Mussio), Samuel Lankes (Guarda Finale), Ricardo Merkin (Maioni), Aldo Niebur (Bandonconista), Alejandro Viola (Asistente de Blasi), Javier García (Ayudante de Vega), Jorge Noya (Chofer Unimog), Luis María Sturla (Empleado Estación Parque), John Bolster (Ascensorista), Jorge Vilela (Ayudante de Maioni), Nestor Somma (Empleado Estación Bolivar), Paolo Taramasco ( Alumno Ciudad Universitaria), Sergio Ríos, Gabriel Maldonado, Diego Ullua, Ignacio Spiaggiari y Julio López (Pasajeros Estación Dock Sud), Fabian Kogan, Héctor Fernández y Gustavo Machado (Operarios Cochera), Alejandro Yasinski (Yupie: Pasajero del 86), Mabel Necol (Maestra: Pasajero del 86), Adrián Méndez (Chico: Pasajero del 86), Rodrigo Fernández (Marinero: Pasajero del 86), Viviana Necol (Bailarina: Pasajero del 86), Alfredo Andino (Lector: Pasajero del 86), Cynthia Att (Embarazada: Pasajero del 86), Fernando Necol (Heavy: Pasajero del 86), Silvia Italiano (Señorita de Minifalos: Pasajero del 86), Maria Teresa Abad (Empleada: Pasajero del 86 y Mamá de Abril), Paula del Real (Deportista: Pasajero del 86), Edy Lerner (Buscado: Pasajero del 86), Yamila Kar (Punk: Pasajero del 86), Moises Galacovsky (Jubilado: Pasajero del 86), Mirta Landini (Mujer de clase alta: Pasajero del 86), Pablo Messiez (Suicida), Natalia Nava (Secretaria), Fabián Bril (Asesina), Debora Vidret (Prostituta), Juan Pablo Carrasco (Yupie del Celular), Paulina Montenegro (Colegiala), Manuel Keselman (Ciego), Claudio Pardini (Provinciano), Sebastian Goñi (Borracho), Guillermo Elias, Hector Bordoni, Juan Jose Gatt, Raul Colombo, Cesar Carlino y Jose Luis Gratti (Obreros Autopista), Claudia Brun (Empleada Ciudad Universitaria), Pablo Farina (Voz en Túneles), Karina Necol (Voz en Andenes).
Premios: En 1996, mejor fotografía y mejor sonido en el festival de La Habana, premio al mejor guión y premio del jurado de la crítica internacional del festival de cine iberoamericano de Huelva, premio de la prensa y del jurado de la juventud en el festival de cine de Puerto Rico; en 1997, Golden Egret a la mejor puesta en escena en el festival hispano de Miami y premio de la prensa en la Viennale; en 1998, premio al mejor film internacional en el festival internacional de Bangkok. Duración: 86 minutos.
Argumento: Un tren del Metro de Buenos Aires desaparece inexplicablemente con más de 30 pasajeros. Los conductores de otras líneas creen oírlo, y de hecho los sistemas de seguridad detectan su presencia en diferentes ocasiones; sin embargo nadie consigue verlo, ni saber dónde está. Los responsables del Subte (así llaman en Argentina al Metro) y las autoridades tratarán de resolver el enigma antes de que la opinión pública se entere del asunto. Ante el desinterés de los ingenieros constructores de los túneles, y sin muchas opciones más, aceptan sin mucha convicción que un joven matemático (topólogo, para más señas) estudie el problema y trate de encontrarle una solución. Sin embargo, sus explicaciones no serán muy bien recibidas ....
Moebius es una película atípica por diferentes motivos: por ser un trabajo de fin de carrera de un grupo de alumnos respaldado además económicamente por su universidad; por ser una película de ciencia ficción de muy bajo presupuesto para lo que suelen costar las producciones de este género; por lograr traspasar las fronteras de su país con cierto éxito a pesar de las limitaciones mencionadas, teniendo en cuenta que la distribución y exhibición del cine latinoamericano en Europa y sobre todo en América, es muy escasa; y por último por ser una película "con mensaje", que pretende provocar la reflexión del espectador, algo absolutamente desacostumbrado en el panorama cinematográfico actual.
Varias son las ideas que Moebius trata de contarnos. Por un lado, el que "vivimos en un mundo donde nadie escucha", como ha podido comprobar el protagonista en primera persona; por otro el que "los hombres y los tiempos desaparecen sin dejar huella", en clara alusión a los miles de desaparecidos en Argentina y a cómo las posteriores autoridades democráticas del país se han olvidado del asunto. La desaparición del tren y el comportamiento de los responsables de la ciudad tratando de escurrir el bulto son un reflejo evidente de esta circunstancia. Por si la cosa no queda clara, hay bastantes referencias a lo largo de la película: el tren desaparece camino de la Plaza de Mayo, los pasajeros del tren son algunos de los tipos más perseguidos por el régimen militar (músicos, intelectuales, profesores, yupies, jóvenes contestatarios).
Desgraciadamente parte del misterio que rodea al tren perdido puede ser intuido por aquellos que conozcan un poco de topología básica sin más que atender al título de la película, ver su cartel anunciador o los títulos de crédito. Por otra parte, la película pone de manifiesto el concepto que la mayor parte de la sociedad tiene de las matemáticas y los matemáticos ("¿un matemático?¿para qué quiero yo un matemático?"). Sólo un ingeniero parece interesado en los razonamientos del topólogo. En contraste con la idea del matemático despistado y absorto en sus teoremas de otras películas, Pratt afronta un problema real y es consciente de todo lo que le rodea y de las consecuencias que sus conclusiones pueden acarrearle. También resulta bastante realista el reducido número de alumnos que aparecen cursando la carrera de matemáticas y el abandono de la docencia por parte del antiguo profesor de Pratt "por haber perdido el interés"
Para lograr un ambiente fantástico (hay mucho de Kafka y de Borges en la película) se han empleado filtros, ángulos insólitos de cámara y un tono lento y a veces parsimonioso tanto en la pronunciación del diálogo como en la propia acción. En muchos momentos, sin embargo, la puesta en escena resulta un tanto desigual, seguramente originada por las diferentes personas que han rodado la película cada cual con su estilo. Al lado de secuencias resueltas de un modo convencional a base de planos generales y medios, en otros momentos se dispone a los actores de forma que el objetivo de la cámara los va enfocando y desenfocando sucesivamente en agobiantes primeros planos. Este efecto resulta a veces pesado por su reiteración a los ojos del espectador. Tampoco el guión parece acabado, ya que existen algunas lagunas difícilmente explicables. Por otro lado, el tono austero que predomina en toda la película, se rompe al final, con un discurso demasiado barroco y pretendidamente trascendente, como tratando de dejar muy clara la intención de la película. Pero, por supuesto, estos "defectos" no son exclusivos de este tipo de películas económicas, encontrándonos parecidos e incluso peores cosas, en producciones pretendidamente de mayor "categoria" (léase con actores o director famosos o superproducciones comercialonas).
Aunque como ya se ha dicho, la película es un trabajo de un grupo de alumnos, los profesores Gustavo Mosquera R. y María Angeles Mira han supervisado dirección y producción, respectivamente. Gustavo Mosquera R. (nacido en 1959) estudió ingeniería eléctrica a la vez que cinematografía, carrera que además de enseñarle a apreciar las matemáticas y las ideas abstractas, le permitió una buena coartada para eludir los interrogatorios a los que, como tantos otros estudiantes, fue sometido durante la dictadura militar. A él en concreto se deben las mejores escenas del film, las realizadas en los túneles, para cuyo rodaje utilizó una cámara diseñada por él mismo a partir de otra que compró a un anticuario. Moebius es su segundo largometraje, y el éxito alcanzado en festivales y países como China, Singapur y la mayor parte de Europa le han permitido trabajar en Estados Unidos.
ACTIVIDADES
1.- Sobre la película
1.- ¿Qué te ha parecido la película?
2.- ¿Qué aspectos relacionados con las matemáticas has encontrado?
3.- ¿Qué te ha llamado más la atención?¿Cambiarias algo? ¿Por qué?
4.- El final de la película es un tanto “extraño” aunque su intención es claramente reivindicativa. Comentalo brevemente.
5.- Expresa tu opinión sobre las siguientes frases que aparecen en la película: “vivimos en un mundo donde nadie escucha” y “los hombres y los tiempos desaparecen sin dejar huella”. ¿Algún otro comentario o cita te ha llamado la atención?
2.- Referencias presentes en la película
A lo largo de la película se hacen diferentes referencias a personas, acontecimientos o lugares reales. Trata de recopilar alguna información adicional acerca de los siguientes aspectos:
1.- El matemático y astrónomo alemán August Ferdinand Moebius (1790-1860) y los orígenes de la topología.
2.- El artista gráfico Maurits Cornelius Escher (1898-1972). Algunos de sus grabados tienen a la banda de Moebius como tema central. Por otro lado gran parte de su trabajo ha tenido como motivación las matemáticas o la física. Existe una amplia bibliografía en castellano sobre su vida y obra. Particularmente interesante es el libro El espejo mágico de M.C. Escher de Bruno Ernst de la editorial Taschen. Si tienes acceso a internet, puedes hacer una visita a un museo virtual sobre su obra en la dirección http:// www.artico.com / escher /.
3.- En una de las estaciones del Subte en la película aparece el nombre del escritor argentino Jorge Luis Borges. Y no es casualidad ya que gran parte del argumento de la misma tiene mucho que ver con este autor. Muchos de los relatos de Borges nos hablan de laberintos, del tiempo y del infinito. Localiza el libro El libro de arena y lee el cuento del mismo título (tranquilo; son sólo 6 páginas). Analiza los aspectos matemáticos del mismo y trata de explicar su intención.
4.- Aún hoy muchas madres argentinas piden justicia para sus hijos desaparecidos durante la última dictadura militar que sufrió aquel país. Trata de conocer a grandes rasgos qué sucedió y cuál ha sido y es actualmente la actitud de los posteriores gobiernos del país. ¿Ves alguna relación con lo que sucede en la película?
3.- Actividad matemática.- Topología
La topología es una rama de la matemática moderna que estudia las propiedades que permanecen invariantes cuando a una estructura se la estira, retuerce o deforma, siempre que tal deformación sea continua, entendiéndose como tal, aquella que no permite desgarrar ni añadir trozos que no estuviesen presentes en la estructura inicialmente. Estas ideas suelen explicarse pensando en figuras de goma o plastilina. Cuando mediante las reglas citadas es posible transformar un objeto en otro, se dice que ambos objetos son topologicamente equivalentes. De este modo, una esfera, un balón de rugby o un cubo son estructuras topologicamente equivalentes.
Una de las propiedades topológicas de los objetos es la conexión. Una circunferencia divide al plano en dos regiones diferentes, una parte interior (el círculo) y otra exterior. Dos puntos cualesquiera de cada una de esas zonas pueden unirse entre sí, pero no podemos unir un punto de la parte interior y otro de la exterior sin cortar la circunferencia. Lo mismo ocurre con la esfera: una hormiga atrapada en su interior no puede salir de esa zona sin perforar la esfera. Una hoja de papel tiene dos caras, y para pasar de una a otra hay que atravesar el borde (hacerle un agujero no está permitido tal y como comentamos anteriormente).¿Existirá un objeto que tenga una sola cara y un solo borde, de manera que una hormiga pudiera recorrer toda la superficie del objeto sin cruzar jamás por el borde? Tal objeto, muy sencillo de construir, es la base argumental de esta película, la banda de Moebius.
Cuestiones
1.- Toma una tira rectangular de papel de unos 3 cm. de ancho y 20 cm. de largo. Dibuja una cruz en la cara superior de la tira y otra en la cara inferior. Pega con celofán o pegamento los extremos de la banda de modo que coincidan el vértice A con el D y el B con el C tal y como se indica en la figura
¿Puedes unir las cruces marcadas sin pasar por el borde ni hacer un agujero en la banda? En consecuencia,
¿Cuántas caras tiene la superficie resultante?
2.- Coge unas tijeras y corta longitudinalmente el anillo. ¿Qué se obtiene?
3.- Toma una nueva tira de papel exactamente igual a la descrita en la primera cuestión y dibuja como antes dos cruces por ambas caras. Gira ahora uno de los extremos 180º tal y como aparece en la figura, pegando a continuación los extremos de modo que coincidan los vértices A y C y B y D. El resultado es la banda de Moebius
¿Es ahora posible unir las dos cruces dibujadas mediante una línea que no cruce el borde? Si desde un punto cualquiera sobre la banda quisieramos pintar de rojo la cara exterior, ¿qué superficie tendriamos que pintar? De las respuestas anteriores, deduce cuantas caras tiene la banda de Moebius.
La banda de Moebius es la superficie más simple que tiene una sola cara. Sus curiosas propiedades han originado bastantes aplicaciones. Los ingenieros suelen utilizarlas en las correas de transmisión de las máquinas, asegurándose así que el desgaste sea uniforme por toda la cinta. También se han diseñado cintas magnetofónicas cuya duración es el doble de la habitual y los ilusionistas han ideado numerosos trucos basados en esta superficie.
4.- Construye otras bandas de Moebius, pero en lugar de realizar un único giro de 180º, haz dos, tres, cuatro, etc. ¿Cuántas caras tienen estas bandas?¿Puedes deducir una regla general que indique el número de caras dependiendo del número de torsiones?
5.- Construye dos bandas de Moebius de las dimensiones de la indicada en la primera cuestión. Corta longitudinalmente una de ellas justo a la mitad (es decir, a 1.5 cm del borde) ¿qué obtienes? Corta la otra banda del mismo modo pero a 1/3 de su anchura (es decir, a 1 cm. del borde), ¿cuál es ahora el resultado?
6.- Repite la actividad quinta sobre bandas de Moebius de dos, tres, cuatro, etc. torsiones e intenta obtener algún tipo de conclusión sobre lo que sucede.
Ficha Técnica y Artística
Título Original: Pi (Faith in Chaos). Nacionalidad: Estados Unidos, 1998. Director: Darren Aronofsky. Guión: Darren Aronofsky, según un argumento de Darren Aronofsky, Sean Gullette, y Eric Watson. Producción: Eric Watson para Protozoa Pictures, Truth & Soul, Harvest Filmworks y Plantain Films. Fotografía: Matthew Libatique. Montaje: Oren Sarch. Diseño de Producción: Matthew Maraffi. Música: Clint Mansell. Maquillaje y Efectos Especiales: Ariyela Wald-Cohain. Productores Ejecutivos: Randy Simon, David Godbout, Jonah Smith, Tyler Brodie. Departamento de Sonido: Brian Emrich. Gráficos generados por ordenador Jeremy Dawson, Dan Schrecker y Sean Gullette.
Intérpretes: Sean Gullette (Maximillian Cohen), Mark Margolis (Sol Robeson), Ben Shenkman (Lenny Meyer), Pamela Hart (Marcy Dawson), Stephen Pearlman (Rabbi Cohen), Samia Shoaib (Devi), Ajay Naidu (Farrouhk), Kristyn Mae-Anne Lao (Jenna), Espher Lao Nieves (Madre de Jenna), Joanne Gordon (Mrs. Ovadia), Lauren Fox (Jenny Robeson), Stanley Herman (Hombre sin bigote), Clint Mansell (Fotógrafo), Tom Tumminello (Ephraim), Ari Handel, Oren Sarch, Richard "Izzi" Lifschutz, David Strahlberg (Cabalistas), Peter Cheyenne (Brad), David Tawil (Jake), J.C. Islander (Hombre mostrando la maleta), Abraham Aronofsky (Hombre entregando la maleta), Ray Seiden (Policia de tránsito), Scott Franklin (Voz del policia de tránsito), Chris Johnson (Limo Driver), Sal Monte (Rey Neptuno).
Premios: Mejor Dirección en el Festival de Sundance de 1998. Duración: 84 minutos.
Argumento: Max Cohen es un brillante matemático que ha construido en su apartamento un gran ordenador (Euclides) a partir de piezas recicladas y materiales de diversa procedencia. Lo utiliza con un único fin: ha llegado al convencimiento de que cualquier sistema complejo está determinado por un mismo patrón numérico universal. En concreto, lleva tiempo tratando de descubrir ese modelo a partir de las fluctuaciones del mercado de valores de la Bolsa. Una vez encontrado, le permitiría conocer la pauta que rige todo el universo, desde las hojas de los árboles hasta la más lejana galaxia, pasando por la propia existencia humana. Sin embargo para Max esta búsqueda no es nada sencilla, ya que además de padecer insoportables dolores de cabeza cada vez más frecuentes y duraderos, está siendo acosado, por un lado por un grupo de financieros de Wall Street que pretenden obtener esa fórmula genial que les haga apostar sobre seguro, y por otro, por los miembros de la secta judía Hasidica que a través del estudio cabalístico de la Torah (libro sagrado de los judios) tratan de llegar a Dios. La medicación no le alivia demasiado y tampoco su antiguo profesor de matemáticas que trata de hacerle comprender lo absurdo de su trabajo. Para colmo, Euclides le suministra una coincidencia numérica, justo antes de estropearse.
Estamos ante una muestra de cine independiente que no deja indiferente al espectador: o despierta odios o es considerada magnífica. No se trata en todo caso de una película "de consumo", ni fácil de ver, tanto en lo que respecta a su argumento como a su realización y puesta en escena. Los guionistas han mezclado hábilmente concepciones muy diferentes del universo humano para ilustrar la teoría del caos. Así, nos muestran la fe absoluta de la religión (mediante una secta judía en este caso), la vida materialista de los corredores de bolsa de Wall Street, las limitaciones razonables de las matemáticas y la antigua idealización japonesa de la existencia reflejada en el juego del Go. Por una u otra razón, todo ello bajo el denominador común de los números y el personaje de Max. Por el camino se nos plantean algunas cuestiones para la reflexión: ¿es lo mismo genialidad y locura?¿existe ese patrón universal que rige cualquier actividad dentro del cosmos?¿cuál es el límite al que debe llegarse en el estudio antes de caer en la obsesión, en lo paranoico?
Entre las referencias matemáticas que se citan en la película se encuentran la sucesión de Fibonacci, la espiral de Arquímedes (presente en conchas marinas, en los girasoles, en nuestro ADN, en el humo de un cigarrillo, en nuestras huellas dactilares o en la forma de la Vía Láctea), la razón áurea (modelo durante siglos de la proporción y canon de la belleza), la representación de objetos de la naturaleza mediante fractales, la conocida historia del descubrimiento del teorema de Arquímedes, la construcción de los primeros computadores, y por supuesto el omnipresente número pi. También se describen aspectos seudomatemáticos como la numerología, que incomprensiblemente aún hoy tiene sus adeptos. La numerología es una práctica muy antigua (fue empleada por los griegos y las religiones judía, cristiana y musulmana), que consiste en asignar valores numéricos a las letras y de dichos valores inferir interpretaciones esotéricas o adivinatorias. Los rabinos judíos creen que la Torah, su libro sagrado, encierra codificada la propia esencia de Dios, y tratan de llegar a ella estudiando la enorme cadena numérica a que da lugar. Aparte del absurdo de su propia esencia, se puede elegir el sistema asignado a cada letra de acuerdo a lo que se desee obtener.
Por otra parte la película refleja muy bien los desordenes físicos y psicológicos que sufren las personas afectadas por la migraña, la paranoia y la manía persecutoria, que unidos al stress pueden llevarnos a la locura. En todos estos aspectos la película está bien documentada y estructurada, basándose en casos reales. Como ejemplo del celo puesto en cada detalle del film, los actores Sean Gullette y Mark Margolis dedicaron muchas horas en el Club de Go de Brooklyn a practicar este juego para dar una visión lo más realista posible del mismo.
En cuanto a la realización del film, el director utiliza una fotografía en blanco y negro no muy corriente en la que juega continuamente con el grano y una cierta saturación expositiva. Esto junto a la reiteración de primeros planos y movimientos rápidos de cámara tratan de crear una atmósfera agobiante a la que se une una banda sonora totalmente electrónica (generada únicamente por sintetizadores y computadores, sin la intervención de instrumento musical alguno), que pueden provocar el rechazo del espectador en algunos momentos. En definitiva, una película innovadora y bien llevada aunque quizá demasiado pretenciosa.
El joven director, Darren Aronofsky, debuta en el largometraje con esta película de muy bajo presupuesto (60.000 $, puestos a escote por todo el equipo técnico y artístico y algunos familiares de éstos). El prestigioso director Ridley Scott ha manifestado su interés por trabajar con él en una película de ciencia-ficción. En cuanto al actor principal, Sean Gullette, es un experto informático que ha diseñado y creado la pagina web oficial de la película (http://www.pithemovie.com) en la que pueden encontrarse más datos sobre el rodaje y el sentido de la película, junto a fotos y trailers de la misma. Como curiosidad final, comentaremos que seguramente sea la primera película en la historia del cine en incluir en los agradecimientos a Leonardo da Vinci.
ACTIVIDADES
1.- Sobre la película
1.- ¿Qué te ha parecido la película?
2.- ¿Qué aspectos relacionados con las matemáticas has encontrado?
3.- ¿Qué te ha llamado más la atención?¿Cambiarias algo?¿Por qué?
4.- ¿Crees posible, como el protagonista, que hay un orden oculto que gobierna toda la existencia del cosmos, o estás más de acuerdo con la opinión de su profesor de que las repeticiones numéricas son fruto de la casualidad?
5.- La obsesión por algo, aunque sea de carácter científico, ¿puede llevarnos a la locura? ¿Es negativo para una persona dedicar demasiado tiempo a la investigación? Expresa argumentos a favor y en contra.
2.- Referencias presentes en la película
a) Además de las comentadas en el siguiente apartado, aparecen referencias a la teoría del caos, la numerología, la cábala, el juego del go, la Bolsa, la migraña, la paranoia. Trata de buscar alguna información adicional sobre estos u otros temas que te hayan llamado la atención en la película y juzga si fueron fielmente utilizadas.
b) El protagonista ha construido en su casa un potente ordenador a partir de piezas en desuso. ¿Crees que esto es factible? Busca información sobre el origen de los ordenadores modernos y cómo eran las primeras computadoras. En particular trata de averiguar algo sobre el ingeniero alemán Konrad Zuse y su creación: la primera máquina programable, llamada Z3, construida en 1941 en el cuarto de estar de la casa de sus padres en Berlín.
3.- Actividad matemática.- Sucesión de Fibonacci
Entre los matemáticos europeos de la Edad Media, el más importante fue sin duda Leonardo de Pisa (1170-1250), conocido por Fibonacci (el hijo de Bonaccio, un rico comerciante italiano). Fue uno de los precursores de la introducción en Europa del sistema de numeración árabe, el que utilizamos en la actualidad. Su obra más importante, el Liber Abaci, contiene toda la aritmética conocida hasta entonces.
En dicho libro aparece descrita la famosa sucesión de Fibonacci, que surge del siguiente problema: Supongamos un par de conejos adultos, macho y hembra, encerrados en un cercado, donde pueden anidar y criar. Los conejos empiezan a procrear a los dos meses de su nacimiento, engendrando siempre un único par macho-hembra, y a partir de ese momento cada mes tienen un par más de similares características. Admitiendo que no muriese ninguno de los conejitos, ¿cuántos contendría el cercado al cabo de un año?
Cuestiones
1.- Comprueba que el número de parejas de conejos por mes sigue la sucesión 1, 1, 3, 5, 8, 13, .... (sucesión de Fibonacci). Un esquema gráfico puede ayudarte a ver mejor la situación. Responde a la cuestión planteada en el enunciado del problema: ¿cuántos pares de conejos contendría el cercado al cabo de un año?
2.- A la vista de los términos de la sucesión, ¿podrías obtener una relación sencilla entre los mismos que describa la sucesión?
3.- Comprueba con los primeros términos que una expresión general para la sucesión de Fibonacci viene dada por
4.- ¿Cuál es la razón entre un término y el siguiente? En otras palabras, calcula el El valor del límite obtenido se conoce como razón áurea o divina proporción.
5.- La sucesión de Fibonacci y la razón áurea aparecen frecuentemente tanto en la Naturaleza como en realizaciones humanas. La razón áurea fue estudiada por los griegos en un contexto geométrico. Se trataba de dividir un segmento AB por un punto P de forma que se cumpliera la relación
(1)
Llamando a AP / PB = j, y teniendo en cuenta que AP + PB = AB, demuestra que la igualdad (1) nos lleva a la ecuación j2 - j - 1 = 0. Resuelve la ecuación para obtener j en modo exacto. Aproxima ese valor con 6 decimales.
6.- Curiosamente, j es también la razón entre el lado de un pentágono regular y su diagonal, lo que hace posible construir ese polígono con regla y compás. Trata de verificar la primera afirmación a partir de la construcción geométrica del pentágono regular conocido el lado.
7.- En la película, el protagonista, Max Cohen, indica cómo se construye la espiral logarítmica a partir de la sucesión de Fibonacci del siguiente modo: comenzando con un cuadrado de 1 cm. de lado, añadimos otro cuadrado idéntico para obtener un rectángulo 2 x 1. Añade a este rectángulo un cuadrado 2 x 2 por el lado más largo para formar un rectángulo 3 x 2. A éste se le añade un cuadrado 3 x 3, obteniéndose un rectángulo 5 x 3, y así sucesivamente. Uniendo los extremos opuestos mediante arcos de circunferencia como se ve en la gráfica, se obtiene la “espiral dorada”.
Realiza esta construcción en papel milimetrado, llegando hasta donde te permita el tamaño de la hoja y dibuja luego la espiral. ¿Dónde se encuentra la sucesión de Fibonacci en esta construcción?¿Y la razón áurea?
8.- La construcción de la espiral dorada se le atribuye a Pitágoras que la consideraba poseedora de propiedades místicas. Observa en la cnostrucción descrita en el apartado anterior que todos los rectángulos que surgen están divididos por la razón áurea. Ningún otro rectángulo tiene esta propiedad. la espiral logarítimica aparece en la Naturaleza frecuentemente: conchas de caracolas de mar, la forma que toma la leche en una taza de café tras darle vueltas, el desplazamiento del humo de un cigarrillo en el aire, la disposición de las pipas en la cara de un girasol, en nuestras huellas dactilares, en el ADN, en la forma de la Vía Láctea y otras galaxias, etc.. ¿Recuerdas alguno de estos objetos en la película? Comenta a partir de todo esto la siguiente cuestión planteada en la película:
“my new hypothesis: if we’re built from Spirals while living in a giant Spiral, then is it possible that everything we put our hands to is infused with the Spiral?”
9.- La sucesión de Fibonacci se aplican en botánica en el estudio de la disposición de las hojas, la filotaxia. Los brotes y hojas de los árboles surgen a diferentes ángulos. Se ha verificado que en el manzano y el roble, por ejemplo, una espiral trazada en torno a la rama pasa por 5 brotes cada 2 vueltas completas, en el álamo y el peral, una espiral de 3 vueltas pasa por 8 brotes. Las escamas de una piña de pino están dispuestas en 5 hileras que corren hacia arriba y a la derecha y 8 que lo hacen a la izquierda. Las cabezas de las margaritas y los girasoles suelen tener 21 espirales creciendo en una dirección y 34 en la otra (Puedes consultar sobre este asunto el capítulo 11 del libro Fundamentos de geometría de H.S.M. Coxeter). Desde este punto de vista, observa algunas plantas, cactus o árboles y trata de verificar la existencia de estas espirales y la presencia de la sucesión de Fibonacci.
No sólo en la Naturaleza están la sucesión de Fibonacci, la razón áurea o las espirales presentes. Los psicólogos han comprobado experimentalmente que la gente encuentran más agradable las formas geométricas en proporción áurea que en cualquier otra relación. Arquitectos y artistas la han utilizado desde la época clásica. En la disposición de muchos edificios clásicos o en las proporciones del canon de belleza del cuerpo humano (en la película aparecen varias veces dibujos de Leonardo da Vinci a este respecto) están presentes. En el libro La geometría en el arte de Dan Pedoe puedes encontrar abundante información sobre la razón áurea en arquitectura, pintura y escultura.
También aparece en la estructura de los mercados financieros. Por ejemplo, cuando un valor de bolsa ha empezado a cambiar su tendencia después de algunos días subiendo o bajando de forma clara, se puede prever que la corrección será del 61.8 % (observa los decimales de 1/ j y comparalos con los de j . ¿Qué observas?) o del 38.2% (1 - j ). Son las llamadas líneas de Fibonacci, tenidas muy en cuenta por los analistas de mercados financieros. También se aplican para tratar de identificar cambios en las tendencias de mercado y se dibujan en periodos de tiempo proporcionales a 5, 8, 13, 21, .... Como puede observarse, la película está bastante documentada a este respecto.
10.- Finalmente, sobre el número p que da título al film, indicaremos que se haya también presente en todas partes, de la astronomía a la física, pasando por campos tan aparentemente dispares como la literatura, el arte o la poesía. A lo largo de la Historia se han ido calculando aproximaciones por diferentes métodos tratando de alcanzar su valor exacto, hasta que en 1882 el matemático Ferdinand Lindemann probó algebraicamente que es un número trascendente, por lo que su expresión decimal es infinita y no es construible geométricamente. Aun así, muchas personas dedican sus esfuerzos a buscar aproximaciones gráficas a su valor cada vez más exactas. Una de ellas, propuesta en 1913 por el matemático hindú Srinivasa Ramanujan, es como sigue:
A partir del círculo de radio unidad, se consideran M, punto medio de OA, y T tal que OT = OB. Se toman los puntos P sobre la circunferencia de modo que TP sea perpendicular a AB, y Q verificando que BQ = TP. Tomamos a continuación S como punto medio de AQ y D tal que AD=AS. Los segmentos TR, BQ y OS deben ser paralelos. Considera la recta tangente a la circunferencia por A y obtén C de modo que AC = RS. Finalmente, BE = BM y G cumpliendo que EG sea paralelo a CD. ¿Qué relación existe entre BG y p ? Puedes resolver la cuestión empleando coordenadas mediante los conceptos estudiados en bachillerato de Geometría Analítica.
Existen muchas construcciones geométricas similares que aproximan el valor de p. En el libro Prácticas de Matemáticas de Bachillerato con DERIVE para Windows de la editorial Ra-Ma puedes encontrar ésta y otras aproximaciones tanto geométricas como numéricas. Con la ayuda del programa DERIVE (no importa que versión del programa utilices, todo el contenido del libro se puede hacer sin problemas con todas las versiones) para realizar los cálculos, podrás fácilmente obtener cientos de decimales de p.
En la actualidad hay muchos grupos de personas que programan sus ordenadores para alcanzar un nuevo record de decimales de p. En 1995, el equipo del japonés Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokyo logró 6.442.450.938 decimales. Estos cálculos no son tan inútiles como pudiera pensarse; son un test para localizar errores en los cada vez más potentes microprocesadores. Así fue como se detectó el famoso error del primer Intel Pentium hace unos años. Una dirección de internet en castellano en la que puedes encontrar diversas curiosidades sobre p es http:// webs.adam.es/ rllorens / pidoc.html.
